by Giống như các công thức đạo hàm cơ bản thì đạo hàm logarit rất quan trọng. Các công thức logarit được học ở chương 2 lớp 12. Bài viết này sẽ hệ thống các công thức đạo hàm logarit thường gặp kèm ví dụ minh họa để học sinh dễ hiểu.
Giả sử các hàm đều thảo mãn điều kiện thì ta có thể vận dụng công thức sau:
Mục lục
Hàm mũ
Hàm cơ bản
- \(\left(\mathrm{e}^x\right)’=\mathrm{e}^x\)
- \(\left(a^x\right)’=a^x.\ln a\)
Hàm hợp
- \(\left(\mathrm{e}^u\right)’=u’.\mathrm{e}^u\)
- \(\left(a^u\right)’=u’.a^u.\ln a\)
Bài tập vận dụng
Ví dụ : Hãy tìm đạo hàm của các hàm sau
a) $y = 6{e^x}$
b) $y = 2{e^{2x}}$
c) $y = 3{a^x}$
d) $y = 6{a^{2x}}$
Hướng dẫn giải
a) $y = 6{e^x} \Rightarrow y’ = {\left( {6{e^x}} \right)^,} = 6{e^x}$
b) $y = 2{e^{2x}} \Rightarrow y’ = {\left( {2{e^{2x}}} \right)^,} = 2{\left( {{e^{2x}}} \right)^,} = 2{\left( {2x} \right)^,}{e^{2x}} = 4{e^{2x}}$
c) $y = 3{a^x} \Rightarrow y’ = 3{a^x}.\ln \left( a \right)$
d) $y = 6{a^{2x}} \Rightarrow y’ = 6{\left( {{a^{2x}}} \right)^,} = 6.{\left( {2x} \right)^,}.{a^{2x}} = 12{a^{2x}}$
Đạo hàm ln
Hàm cơ bản
- ${\left( {\ln |x|} \right)^,} = \frac{1}{x}$
- ${\left( {\ln x} \right)^,} = \frac{1}{x}$
Hàm hợp
- ${\left( {\ln |u|} \right)^,} = \frac{{u’}}{u}$
- ${\left( {\ln u} \right)^,} = \frac{{u’}}{u}$
Bài tập vận dụng
Hãy tính đạo hàm của hàm ln có dạng sau:
a) $y = ln\left( x \right)$
b) $y = ln\left( {\left| x \right|} \right)$
c) $y = ln\left( {{x^2}} \right)$
d) $y = ln\left( {\left| {1 + 6x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|} \right)$
Hướng dẫn giải
a) $y = ln\left( x \right) \Rightarrow y’ = {\left( {ln\left( x \right)} \right)^,} = \frac{1}{x}$
b) $y = ln\left( {\left| x \right|} \right) \Rightarrow y’ = \left( {ln\left( {\left| x \right|} \right)} \right) = \frac{1}{x}$
c) $y = ln\left( {{x^2}} \right) \Rightarrow y’ = {\left( {ln\left( {{x^2}} \right)} \right)^,} = \frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^,}}}{{{x^2}}} = \frac{{2x}}{{{x^2}}}$
d) $y = ln\left( {\left| {1 + 6x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|} \right)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = {\left( {ln\left( {\left| {1 + 6x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|} \right)} \right)^,}\\ = \frac{{{{\left( {1 + 6x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)}^,}}}{{1 + 6x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\\ = \frac{{6 – \cos x}}{{1 + 6x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} \end{array}$
Hàm logarit cơ số 10
Hàm cơ bản
- ${\left( {\log x} \right)^,} = \frac{1}{{x\ln 10}}$
Hàm hợp
- ${\left( {\log u} \right)^,} = \frac{{u’}}{{u\ln 10}}$
Bài tập vận dụng
Hãy tìm đạo hàm của hàm log cơ số 10
a) $y = \log x$
b) $y = \log \left( {6{x^2} – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)$
Hướng dẫn giải
a) $y = \log x \Rightarrow y’ = \left( {\log x} \right)’ = \frac{1}{{x\ln 10}}$
b) $y = \log \left( {6{x^2} – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = \left( {\log \left( {6{x^2} – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)} \right)’\\ = \frac{{\left( {6{x^2} – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)’}}{{\left( {6{x^2} – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)\ln 10}}\\ = \frac{{12x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\left( {6{x^2} – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)\ln 10}} \end{array}$
Logarit tổng quát
Hàm cơ bản
- ${\left( {{{\log }_a}|x|} \right)^,} = \frac{1}{{x.\ln a}}$
- ${\left( {{{\log }_a}x} \right)^,} = \frac{1}{{x.\ln a}}$
Hàm hợp
- ${\left( {{{\log }_a}|u|} \right)^,} = \frac{{u’}}{{u.\ln a}}$
- ${\left( {{{\log }_a}u} \right)^,} = \frac{{u’}}{{u.\ln a}}$
Bài tập vận dụng
a) $y = {\log _3}\left| x \right|$
b) $y = {\log _e}\left( x \right)$
c) $y = {\log _3}\left| {6x} \right|$
d) $y = {\log _e}\left( {6x} \right)$
Hướng dẫn giải
a) $y = {\log _3}\left| x \right| \Rightarrow y’ = \left( {{{\log }_3}\left| x \right|} \right)’ = \frac{1}{{x.\ln \left( a \right)}}$
b) $y = {\log _e}\left( x \right)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = \left( {{{\log }_e}\left( x \right)} \right)’\\ = \frac{1}{{x.\ln \left( e \right)}}\\ = \frac{1}{x} \end{array}$
c) $y = {\log _3}\left| {6x} \right|$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = \left( {{{\log }_3}\left| {6x} \right|} \right)’\\ = \frac{{\left( {6x} \right)’}}{{6x.\ln \left( 3 \right)}}\\ = \frac{1}{{x.\ln \left( 3 \right)}} \end{array}$
d) $y = {\log _e}\left( {6x} \right)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = \left( {{{\log }_e}\left( {6x} \right)} \right)’\\ = \frac{{\left( {6x} \right)’}}{{6x.\ln \left( e \right)}}\\ = \frac{1}{x} \end{array}$
Với những chia sẻ trên, hy vọng em đã hiểu được những kiến thức cơ bản. Mọi thắc mắc về phần đạo hàm này, em hãy để lại phần comment ở phía dưới.
