by Muốn học tốt đạo hàm thì phần đầu tiên cần nhớ là quy tắc đạo hàm. Đây là kiến thức rất quan trọng nhưng học tương đối dễ. Bộ quy tắc đạo hàm gồm 7 quy tắc. Để học sinh dễ học thì admin đã sắp xếp các quy tắc này từ căn bản tới nâng cao.
Mục lục
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số
- (ku(x))’ = ku’(x)
- (uvw)’ = u’.(vw) + uv’w + (uv).w’
- $({u_1} \pm {u_2} \pm … \pm {u_n})’ = u_1^, \pm u_2^, \pm … \pm u_n^,$
- $({u^n}(x))’ = n{u^{n – 1}}(x).u'(x)$
- ${\left( {\frac{{u(x)}}{{v(x)}}} \right)^,} = \frac{{u'(x)v(x) – v'(x)u(x)}}{{{v^2}(x)}}$
- $\left( {\frac{c}{{u(x)}}} \right)’ = – \frac{{c.u'(x)}}{{{u^2}(x)}}$.
Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó $y{‘_x} = y{‘_u}.u{‘_x}$.
${\left( {\frac{{u(x)}}{{v(x)}}} \right)^,} = \frac{{u'(x)v(x) – v'(x)u(x)}}{{{v^2}(x)}}$
Bài tập vận dụng
Ví dụ 1. Giải bất phương trình \(f'(x) \ge 0\) biết:
1. \(f(x) = x\sqrt {4 – {x^2}} \)
2. \(f(x) = x – 2\sqrt {{x^2} + 12} \)\(f(x) = \sqrt {{x^2} – x + 1} + \sqrt {{x^2} + x + 1} \)
3. \(f(x) = \sqrt[4]{{{x^2} + 1}} – \sqrt x \)
Hướng dẫn giải
1. TXĐ: \(D = \left[ { – 2;2} \right]\)
Ta có: \(f'(x) = \sqrt {4 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }} = \frac{{4 – 2{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}\)
Do đó: \(f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow 4 – 2{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow – \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \).
2. TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Ta có: \(f'(x) = \frac{{2x – 1}}{{2\sqrt {{x^2} – x + 1} }} + \frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }}\)
Suy ra \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left( {1 – 2x} \right)\sqrt {{x^2} + x + 1} = \left( {1 + 2x} \right)\sqrt {{x^2} – x + 1} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(1 – 2x)(1 + 2x) \ge 0\\{(1 – 2x)^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right] = {\left( {1 + 2x} \right)^2}\left[ {{{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right]\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}\\{(1 – 2x)^2} = {(1 + 2x)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\).
3. TXĐ: \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\)
Ta có:$f'(x) = \frac{x}{{2\sqrt[4]{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}} – \frac{1}{{2\sqrt x }}$.
$f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow x\sqrt x \ge \sqrt[4]{{{{({x^2} + 1)}^3}}} \Leftrightarrow {x^6} \ge {({x^2} + 1)^3}$
$ \Leftrightarrow {x^2} \ge {x^2} + 1$ bất phương trình này vô nghiệm
Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}\)
b) \(y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x + 1}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(y’ = \frac{{(2x + 1)'(x – 3) – (x – 3)'(2x + 1)}}{{{{(x – 3)}^2}}} = \frac{{ – 7}}{{{{(x – 3)}^2}}}\)
b) Ta có: \(y’ = \frac{{({x^2} – 2x + 2)'(x + 1) – ({x^2} – 2x + 2)(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)
\( = \frac{{(2x – 2)(x + 1) – ({x^2} – 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x – 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Nhận xét: Với hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) ta có: \(y’ = \frac{{ad – bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}\).
Từ hệ thống các quy tắc ở trên kèm các ví dụ minh họa hẳn đã giúp các em học sinh học được kiến thức căn bản nhất của đạo hàm, giúp học sinh lớp 12 ôn tập nhanh. Chúc em học tập hiệu quả
