Dùng đạo hàm để giải toán tổ hợp

Dùng đạo hàm để giải toán tổ hợp là bài viết nằm trong loạt bài ứng dụng đạo hàm để giải toán. Trước khi học bài này, em cần nhớ bảng đạo hàm, cần nhớ tính chất đạo hàm, nhỡ kiến thức về tổ hợp.

Cơ sở lý thuyết

Hướng dẫn dùng cách 1

Từ khai triển \({\left( {1 + x} \right)^n}\) =\(C_n^0 + C_n^1{x^1} + C_n^2{x^2} + … + C_n^{n – 1}{x^{n – 1}} + C_n^n{x^n}\)

Lấy đạo hàm cấp 1, cấp 2 ở hai vế khai triển của nhị thức

Chọn \(x = {x_0}\) và chọn \(n\) thích hợp.

Hướng dẫn dùng cách 2

Sử dụng MTCT tính thay với một vài giá trị n = 1, 2… và kiểm tra tính đúng sai ta đi đến việc lựa chọn đáp án

Bài tập minh họa

Ví dụ 1. Tính tổng với $n \in N,n \ge 2:$

\(S = 1.2.C_n^2 + 2.3.C_n^3 + … + (n – 2).(n – 1).C_n^{n – 1} + (n – 1).n.C_n^n\)

A. \((n – 1).(n – 2){.2^{n – 2}}\).

B. \(n.(n – 1){.2^{n – 2}}\).

C. \(n.(n – 1){.2^{n – 1}}\).

D. \((n – 1).(n – 2){.2^n}\).

Lời giải

Cách 1: Xét hàm số\(f(x) = {(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1{x^1} + C_n^2{x^2} + … + C_n^{n – 1}{x^{n – 1}} + C_n^n{x^n}\)

Suy ra:

\(f’\left( x \right) = n{\left( {1 + x} \right)^{n – 1}} = C_n^1 + 2xC_n^2 + \ldots + \left( {n – 1} \right){x^{n – 2}}.C_n^{n – 1} + n.{x^{n – 1}}.C_n^n\)

\(f”\left( x \right) = \left( {n – 1} \right).n.{\left( {1 + x} \right)^{n – 2}}\)

\( = 1.2.C_n^2 + 2.3.x.C_n^3 + … + (n – 2).(n – 1){x^{n – 3}}.C_n^{n – 1} + (n – 1).n.{x^{n – 2}}.C_n^n\)

\(f”\left( 1 \right) = 1.2.C_n^2 + 2.3.C_n^3 + \ldots + \left( {n – 2} \right).\left( {n – 1} \right).C_n^{n – 1} + \left( {n – 1} \right).n.C_n^n = n\left( {n – 1} \right){2^{n – 2}}\).

Cách 2: Sử dụng MTCT ta thử với một vài giá trị \(n \ge 2.\)

• Với \(n = 2\) \( \Rightarrow \) \(S = 1.2.C_2^2 = {2.1.2^1} = 2\) (đúng)
• Với \(n = 3\) \( \Rightarrow \) \(S = 1.2.C_3^2 + 2.3.C_3^3 = 3.2.2 = 12\) (đúng)

…

So sánh, đối chiếu các đáp án ta được kết quả.

STUDY TIP

Nếu trong biểu thức thiếu 2 số hạng đầu tiên hoặc 2 số hạng cuối cùng của khai triển nhị thức đồng thời các hệ số là tích của 2 số tự nhiên lien tiếp ta dung đạo hàm cấp 2.

Ví dụ 2. Tính tổng \(S = C_n^0 + 2C_n^1 + 3C_n^2 + … + (n + 1)C_n^n\) bằng

A. \(n{.2^{n – 1}}\).

B. \((n + 1){.2^{n – 1}}\).

C. \((n + 2){.2^{n – 1}}\).

D. \((n + 1){.2^n}\).

Lời giải

Cách 1:

Ta có: \({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1{x^1} + C_n^2{x^2} + … + C_n^{n – 1}{x^{n – 1}} + C_n^n{x^n}\)

Nhân 2 vế với \(x\) ta được: \(x{(1 + x)^n} = x.C_n^0 + {x^2}.C_n^1 + {x^3}.C_n^2 + … + {x^n}.C_n^{n – 1} + {x^{n + 1}}.C_n^n\)

Lấy đạo hàm 2 vế ta được : \({(1 + x)^n} + nx{(1 + x)^{n – 1}} = C_n^0 + 2x.C_n^1 + 3{x^2}.C_n^2 + … + (n + 1){x^n}.C_n^n\)

Thay \(x = 1\) ta được: \(S = C_n^0 + 2C_n^1 + 3C_n^2 + … + (n + 1)C_n^n = {2^n} + n{.2^{n – 1}} = (n + 2){.2^{n – 1}}.\)

Cách 2

Sử dụng MTCT (bạn đọc tự thử lại)

STUDY TIP

Nếu trong khai triển nhị thức vẫn có số hạng đầu hoặc số hạng cuối và hệ số tăng thêm 1 đơn vị thì ta nhân 2 vế với x và sau đó dùng đạo hàm cấp 1.

Ví dụ 3: Tính tổng: \(S = 100.C_{100}^0{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{99}} – 101.C_{100}^1{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{100}} + … + 199.C_{100}^0{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{198}} + 200.C_{100}^{100}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{199}}\)

A.\(10\).

B.\(0\).

C.\(1\).

D.\(100\).

Lời giải

Xét \(f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + x} \right)^{100}} = {x^{100}}{\left( {1 + x} \right)^{100}}\)

\( = {x^{100}}\left( {C_{100}^0 + C_{100}^1x + C_{100}^2{x^2} + C_{100}^{100}{x^{100}}} \right)\)

\( = C_{100}^0.{x^{100}} + C_{100}^1.{x^{101}} + C_{100}^2{x^{102}} + … + C_{100}^{100}{x^{200}}\)

\( \Rightarrow f’\left( x \right) = 100\left( {2x + 1} \right).{\left( {{x^2} + x} \right)^{99}}\)

\( = 100{x^{99}}.C_{100}^0 + 101{x^{100}}.C_{100}^1 + 102{x^{101}}.C_{100}^2 + … + 200{x^{199}}C_{100}^{100}\)

Lấy \(x = – \frac{1}{2}\) ta được:

\(0 = – 100{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{99}}C_{100}^0 + 101{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{100}}C_{100}^1 – … – 200{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{199}}C_{100}^{100} \Leftrightarrow S = 0\).

STUDY TYP

Xuất phát từ nhị thức \({\left( {{x^2} + x} \right)^{100}}\), sau khi dùng đạo hàm cấp \(1\), chọn \({x_0} = – \frac{1}{2}\)

Hy vọng bài viết trên đã giúp bạn hiểu thêm được ứng dụng của đạo hàm. Mọi thắc mắc vui lòng để lại bình luận bên dưới