by Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian là 1 đơn vị kiến thức quan trọng thuộc bậc THPT, xuất hiện trong đề thi thử khá nhiều.
Mục lục
Cơ sở lý thuyết
Giả sử hai đường thẳng trong không gian có phương trình lần lượt là: ax + by + c = 0 và a’x + b’y + c = 0
Gọi vecto chỉ phương của hai đường thẳng theo thứ tự là $\vec u$ = (a, b, c) và $\vec u’$ = (a’, b’, c’)
Công thức tổng quát Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian:
\[{cos\varphi = \frac{{|\vec u.\vec u’|}}{{|\vec u|.|\vec u’|}} = \frac{{|aa’ + bb’ + cc’|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{{a’}^2} + {{b’}^2} + {{c’}^2}} }}\left( 1 \right)}\]
Bài tập vận dụng có lời giải
Bài tập 1: Cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là Δ: 3x + 2y – 5 = 0 và Δ’: – 2x + 5y – 1 = 0. Hãy tìm góc giữa hai đường thẳng này trong không gian Oxyz.
Lời hướng dẫn
Theo đề:
- Vecto chỉ phương của Δ: 3x + 2y – 5 = 0 có dạng $\vec u$ = (3; 2; – 5)
- Vecto chỉ phương của Δ: – 2x + 5y – 1 = 0 có dạng $\vec u$ = ( – 2; 5; – 1)
Áp dụng công thức (1) ta tìm được:
$\begin{array}{l} cos\varphi = \frac{{|\vec u.\vec u’|}}{{|\vec u|.|\vec u’|}}\\ = \frac{{|aa’ + bb’ + cc’|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{{a’}^2} + {{b’}^2} + {{c’}^2}} }}\\ = \frac{{\left| {3.\left( { – 2} \right) + 2.5 + \left( { – 5} \right).\left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { – 5} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( 5 \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = 0,267\\ \Rightarrow \varphi = 74,{54^0} \end{array}$
Góc giữa hai đường thẳng là φ = 74,540.
Bài tập 1: Cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là Δ: 3x + 2y – 5 = 0 và Δ’: – 2x + 5y – 1 = 0. Hãy tìm góc giữa hai đường thẳng này trong không gian Oxyz.
Lời hướng dẫn
Theo đề:
- Vecto chỉ phương của Δ: 3x + 2y – 5 = 0 có dạng $\vec u$ = (3; 2; – 5)
- Vecto chỉ phương của Δ: – 2x + 5y – 1 = 0 có dạng $\vec u$ = ( – 2; 5; – 1)
Áp dụng công thức (1) ta tìm được:
$\begin{array}{l} cos\varphi = \frac{{|\vec u.\vec u’|}}{{|\vec u|.|\vec u’|}}\\ = \frac{{|aa’ + bb’ + cc’|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{{a’}^2} + {{b’}^2} + {{c’}^2}} }}\\ = \frac{{\left| {3.\left( { – 2} \right) + 2.5 + \left( { – 5} \right).\left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { – 5} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( 5 \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = 0,267\\ \Rightarrow \varphi = 74,{54^0} \end{array}$
Góc giữa hai đường thẳng là φ = 74,540.
Bài tập 2: Đường thẳng d: – x + 7y + 3 = 0 và d’: 4x – 3y – 6 = 0. Hãy tìm góc giữa hai đường thẳng này trong không gian Oxyz.
Lời hướng dẫn
Theo đề:
- Vecto chỉ phương của d: – x + 7y + 3 = 0 có dạng $\vec u$ = ( – 1; 7; 3)
- Vecto chỉ phương của Δ: 4x – 3y – 6 = 0 có dạng $\vec u$ = ( 4; – 3; – 6)
Áp dụng công thức (1) ta tìm được:
$\begin{array}{*{20}{l}} {cos\varphi = \frac{{|\vec u.\vec u’|}}{{|\vec u|.|\vec u’|}}}\\ { = \frac{{|aa’ + bb’ + cc’|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{{a’}^2} + {{b’}^2} + {{c’}^2}} }}}\\ { = \frac{{\left| {\left( { – 1} \right).4 + 7.\left( { – 3} \right) + 3.\left( { – 6} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {7^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( 4 \right)}^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2} + {{\left( { – 6} \right)}^2}} }} = 0,7168}\\ { \Rightarrow \varphi = 44,{{21}^0}} \end{array}$
Góc giữa hai đường thẳng là φ = 74,540.
Trên đây là lý thuyết và bài tập về đường thẳng. Hy vọng nó hữu ích với ban.
