Tính vi phân của hàm số

Vi phân hàm số là phần khó thuộc chương đạo hàm. Để học tốt phần này bắt buộc em phải nắm rõ những công thức đạo hàm nền tảng, khi đã có những kiến thức này thì bạn sẽ hiểu bản chất của vấn đề và tiếp cận nó dễ dàng.

Phương pháp

• Tính vi phân của hàm số \(f\left( x \right)\) tại \({x_0}\) cho trước: \(df\left( {{x_0}} \right) = f’\left( {{x_0}} \right).\Delta x\).
• Tính vi phân của hàm số \(f\left( x \right)\): \(df\left( x \right) = f’\left( x \right).dx\).
• Dùng vi phân tính gần đúng.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 0\\x{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 0\end{array} \right.$. Khẳng định nào sau đây là sai:

A. \(f’\left( {{0^ + }} \right) = 1\).

B. \(f’\left( {{0^ – }} \right) = 1\).

C. \(df\left( 0 \right) = dx\) .

D. Hàm số không có vi phân tại \(x = 0\).

Lời giải

Đáp án D.

Ta có: $\begin{array}{l}f’\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + x}}{x} = 1;\\f’\left( {{0^ – }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{x}{x} = 1\end{array}$

và \(df\left( 0 \right) = dx\).

STUDY TIP

Với hàm số có nhiều biểu thức việc tính đạo hàm của hàm ta dùng định nghĩa.

Ví dụ 2. Dùng vi phân tính gần đúng $\sin 29^\circ $ có giá trị là:

A. 0,4849.

B. 0,5464.

C. 0,4989.

D. 0,4949.

Đáp án A.

Lời giải

Xét $f\left( x \right) = \sin x$

Có $f’\left( x \right) = \cos x$.

Chọn ${x_0} = \frac{\pi }{6}$,

$\begin{array}{l}\Delta x = – \frac{\pi }{{180}}\\ \Rightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} – \frac{\pi }{{180}}} \right) \approx \sin \frac{\pi }{6} + \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right).\left( { – \frac{\pi }{{180}}} \right)\\ \approx 0,4849\end{array}$.

Ví dụ 3. Vi phân của hàm số tại điểm ứng với \(\Delta x = 0,1\) là:\( – 0,07\)

A. \(9\).

B. \(10\).

C. \(1,1\).

D. \( – 0,4\).

Lời giải

Đáp án C.

Ta có: \(f’\left( x \right) = 6x – 1 \Rightarrow f’\left( 2 \right) = 11 \Rightarrow df\left( 2 \right) = f’\left( 2 \right).\Delta x = 11.0,1 = 1,1\).

Ví dụ 4. Vi phân của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) tại điểm \(x = \frac{\pi }{3}\) ứng với \(\Delta x = 0,01\) là:

A. \( – 1,1\).

B. \(10\).

C. \(0,1\) .

D. \( – 0,01\).

Lời giải

Đáp án D.

\(\begin{array}{l}f’\left( x \right) = 2\cos 2x \Rightarrow f’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = – 1\\ \Rightarrow df\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = f’\left( {\frac{\pi }{3}} \right).\Delta x = – 0,01\end{array}\).

STUDY TIP

Việc tính vi phân của hàm số tại một điểm \({x_0}\) chính là tích của đạo hàm tại một điểm \({x_0}\) và số gia \(\Delta x\) tương ứng.

Ví dụ 3. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}}}{x}\). Biểu thức \(0,01.f’\left( {0,01} \right)\) là số nào?

A. \(9\).

B. \( – 9\).

C. \(90\) .

D. \( – 90\).

Lời giải

Đáp án D.

\(\begin{array}{l}f’\left( x \right) = \frac{1}{{x\sqrt x }} – \frac{1}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow f’\left( {0,01} \right) = – 9000\\ \Rightarrow 0,01f\left( {0,01} \right) = – 90\end{array}\).

Ví dụ 4. Cho hàm số \(y = \sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} \). Chọn kết quả đúng:

A. \(df\left( x \right) = \frac{{ – \sin 4x}}{{2\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}dx\).

B. \(df\left( x \right) = \frac{{ – \sin 4x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}dx\).

C. \(df\left( x \right) = \frac{{\cos 2x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}dx\) .

D. \(df\left( x \right) = \frac{{ – \sin 2x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}dx\).

Lời giải

Đáp án B.

Ta có: $df\left( x \right) = \frac{{{{\left( {1 + {{\cos }^2}2x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}dx = \frac{{ – \sin 4x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}dx$

STUDY TIP

Có thể sử dụng MTCT để tìm đạo hàm của hàm số sau đó ta cũng được kết quả của tính vi phân.

Hy vọng với hướng dẫn cơ bản này sẽ giúp ích em đạt kết quả cao.