by Trước admin đã giới thiệu tới bạn các công thức đạo hàm cơ bản, cũng như 7 quy tắc đạo hàm bắt buộc phải nhớ. Bài viết này không bàn tới vấn đề cơ bản nữa, ta sẽ bàn tới công thức đạo hàm cấp cao. Có nhiều bạn sẽ hỏi, liệu nó có liên quan tới đạo hàm cơ bản hay không? liệu bài tập đạo hàm có tác dụng hay không?… balala. Chắc chắn rồi, bài viết này sẽ kế thừa toàn bộ kiến thức có bản để xây dựng công thức đạo hàm cấp cao. Một trong những đơn vị khó nhất của đạo hàm.
Mục lục
Cở sở lý thuyết
Vi phân của hàm số
Tích \(f'({x_0}).\Delta x\) được gọi là vi phân của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({x_0}\) (ứng với số gia \(\Delta x\)) được kí hiệu là \(df({x_0}) = f'({x_0})\Delta x\).
Nếu hàm số f có đạo hàm f’ thì tích \(f'(x)\Delta x\) được gọi là vi phân hàm số \(y = f(x)\), kí hiệu là: \(df(x) = f'(x)\Delta x\).
Đặc biệt: \(dx = x’\Delta x = \Delta x\) nên ta viết df(x) = f'(x)dx.
Đạo hàm cấp n
Đạo hàm cấp hai:
Cho hàm số f có đạo hàm f’. Nếu f’ cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: \(f”\), tức là: \(f” = (f’)’\).
Đạo hàm cấp n:
Cho hàm số f có đạo hàm cấp n – 1(với \(n \in \mathbb{N},n \ge 2\)) là \({f^{(n – 1)}}\). Nếu \({f^{(n – 1)}}\) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là \({f^{(n)}}\), tức là : \({f^{(n)}} = ({f^{(n – 1)}})’\)
Ví dụ vận dụng
Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau:\(y = \frac{{3x + 1}}{{x – 2}}\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y’ = \frac{{ – 7}}{{{{(x – 2)}^2}}}\), \(y” = \frac{{7.2}}{{{{(x – 2)}^3}}}\), \(y”’ = \frac{{ – 7.2.3}}{{{{(x – 2)}^4}}}\)
Bằng quy nạp ta chứng minh: \({y^{(n)}} = \frac{{{{( – 1)}^n}.7.n!}}{{{{(x – 2)}^{n + 1}}}}\) (2)
Với n – 1 ta thấy (2) đúng
Giả sử (2) đúng với \(n = k\), tức là: \({y^{(k)}} = \frac{{{{( – 1)}^k}.7.k!}}{{{{(x – 2)}^{k + 1}}}}\)
Ta có: ${y^{(k + 1)}} = {\rm{ }}{\left( {\frac{{{{( – 1)}^k}.7.k!}}{{{{(x – 2)}^{k + 1}}}}} \right)^,} = – \frac{{{{( – 1)}^k}.7.k!.(k + 1)}}{{{{(x – 2)}^{k + 2}}}}$
\( = \frac{{{{( – 1)}^{k + 1}}.7.(k + 1)!}}{{{{(x – 2)}^{k + 2}}}}\)
Nên (2) đúng với mọi số tự nhiên n.
Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Tính \({y^{(n)}}\)
A.\({y^{(n)}} = {2^n}\sin (2x + n\frac{\pi }{3})\)
B.\({y^{(n)}} = {2^n}\sin (2x + \frac{\pi }{2})\)
C.\({y^{(n)}} = {2^n}\sin (x + \frac{\pi }{2})\)
D.\({y^{(n)}} = {2^n}\sin (2x + n\frac{\pi }{2})\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(y’ = 2\sin (2x + \frac{\pi }{2}),y” = {2^2}\sin (2x + 2\frac{\pi }{2})\), \(y”’ = {2^3}\sin (2x + 3\frac{\pi }{2})\)
Bằng quy nạp ta chứng minh \({y^{(n)}} = {2^n}\sin (2x + n\frac{\pi }{2})\)
Với \(n = 1 \Rightarrow y’ = {2^1}\sin (2x + \frac{\pi }{2})\) đúng
Giả sử \({y^{(k)}} = {2^k}\sin (2x + k\frac{\pi }{2})\),
suy ra \({y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)’ = {2^{k + 1}}\cos (2x + k\frac{\pi }{2}) = {2^{k + 1}}\sin \left( {2x + (k + 1)\frac{\pi }{2}} \right)\)
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau \(y = \cos 2x\)
A.\({y^{(n)}} = {\left( { – 1} \right)^n}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\)
B.\({y^{(n)}} = {2^n}\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
C.\({y^{(n)}} = {2^{n + 1}}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\)
D.\({y^{(n)}} = {2^n}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(y’ = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right),y” = {2^2}\cos \left( {2x + 2\frac{\pi }{2}} \right),\)
\(y”’ = {2^3}\cos \left( {2x + 3\frac{\pi }{2}} \right)\).
Bằng quy nạp ta chứng minh được \({y^{(n)}} = {2^n}\cos \left( {2x + n\frac{\pi }{2}} \right)\).
Ví dụ 4. Tìm vi phân của các hàm số sau \(y = {x^3} + 2{x^2}\)
A.\(dy = (3{x^2} – 4x)dx\)
B.\(dy = (3{x^2} + x)dx\)
C.\(dy = (3{x^2} + 2x)dx\)
D.\(dy = (3{x^2} + 4x)dx\)
Hướng dẫn giải
\(dy = (3{x^2} + 4x)dx\)
Ví dụ 5. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau\(y = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\)
A.${y^{(n)}} = \frac{{{{( – 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} + \frac{{{{( – 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}$
B.${y^{(n)}} = \frac{{{{( – 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^n}}} – \frac{{{{( – 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^n}}}$
C.${y^{(n)}} = \frac{{{{( – 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n – 1}}}} – \frac{{{{( – 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n – 1}}}}$
D.${y^{(n)}} = \frac{{{{( – 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} – \frac{{{{( – 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}$
Hướng dẫn giải
Ta có:\(x = 3(x + 2) – 2(x + 3)\); \({x^2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)
Suy ra \(y = \frac{3}{{x + 3}} – \frac{2}{{x + 2}}\).
Mà \({\left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( – 1)}^n}{{.1}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}} = \frac{{{{( – 1)}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}},{\rm{ }}{\left( {\frac{1}{{x + 3}}} \right)^{(n)}} = \frac{{{{( – 1)}^n}.n!}}{{{{(x + )}^{n + 1}}}}\)
Nên ta có: ${y^{(n)}} = \frac{{{{( – 1)}^n}.3.n!}}{{{{(x + 3)}^{n + 1}}}} – \frac{{{{( – 1)}^n}.2.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}$.
Hy vọng với phần giới thiệu cơ sở lý thuyết đạo hàm và bài tập đạo hàm cấp cao kèm lời giải sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học học tập. Chúc bạn thành công!
